23张宇八套卷（四）

这套卷子是今天上午做的，和前几套一样，都是三小时拉满，感觉这套卷子的难度比前两套要稍微难一点点，主要体现在填空题，大题的难度我觉得也比前两套要稍微难一些，但也有凑数的题。

下面开始复盘：

第一题难度不大，但是放在第一问就有点离谱的，这道题里头的其中一个都能单独当一道填空题了，甚至有些水卷子能直接当第一道大题，不过难度不大，第一个积分就在括号里头加一减一，然后用三部曲计算。第二个可以把分子分母颠倒一下，然后指数部分的$x$就变成了$-x$，然后拆开后就好操作了，都是真题考过的经典方法。

这道题的难度也不大，$f(x)$是$\frac{sinx}{x}$的一个原函数，那么也就是说：$\int\frac{sinx}{x}dx = f(x)$，然后再对要求的式子进行分部积分即可。

基础题，导数大于等于零就好了。

这道题我第一遍的时候没做，结果最后忘记写了。。主要确实也没想到什么比较好的方法，答案的方法比较厉害，令$g(x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$，然后就有$f(x) = g^2(x)$，然后求导分析就简单了。还有一种方法是用王普的沉鱼落雁，说实话这招我不太擅长，之前做了几个题，总感觉怪怪的，后面就没怎么用了。

这道题也不难，先把$I_1, I_2, I_3$表示出来，然后两两比较，因为它们在进行比较的时候区间是不一样的，所以需要进行换元操作，把其中的一个变换到另一个区间上，然后比较被积函数就简单了。

1很显然是收敛的，$sinx < 1$放缩掉，然后$e^x$当分母，和$p$积分比较，肯定收敛的

2在 $x \to 0$的时候不收敛

3在 $x \to 1$的时候不收敛

4是收敛的

先用极坐标计算，然后$\theta$可以先积分出来，然后再算平均值，算的时候需要用到交换次序，然后就简单了。

第一个是很好判断的，我们有一个结论，如果$A$列满秩，那么$R(AB) = R(B)$，如果$B$行满秩，那么$R(AB) = R(A)$，这里要和初等变换区分，我老是搞反。。

所以有$R(A\alpha_1, A\alpha_2, ..., A\alpha_s) = R(A(\alpha_1, \alpha_2, ...\alpha_s)) = R(\alpha_1, \alpha_2, ...\alpha_s) = s$，那么就能说明它们无关了。

第二个证明相关还是有些复杂的，答案的方法是用到了方程组：$Ax = 0$是否有非零解，然后这个解是否能由$\alpha_1, ..., \alpha_s$线性表示，说实话比较难想。

其实也就是要求$\alpha_1\alpha_1^T$的特征值，那么就很显然是模长的平方。

第一眼看着还有点懵逼，仔细分析下就会发现是paper tiger，首先根据基础解系就能知道A的秩是1，然后根据特解实际上可以把A矩阵的第一列给整出来，然后再根据后面的两个通解，就可以把第二列和第三列整出来，这是个线性组合的关系。A出来了那么$A + A^T$就能出来了，然后再解方程就好。

取对数然后用定积分的定义就好了，但是我把那个底数e给忘了。。离谱

我还以为$[f(\frac{1}{x} )]'$和$f'(\frac{1}{x} )$是同一个东西。。实际上也不难，把$f'(x)$表示出来之后递推找规律就好了，如果记了结论就直接用结论套。

这道题要先把微分方程给解出来，然后再积分

这道题也太坑了，我直接走了个公式，真没想到在根号下$sinx > 0$，所以区间就只有：$[0, \pi]$

基本题，其实我感觉先对$y$求偏导，再对$x$求偏导是否会简单一些？

把三个特征值特征向量整出来了以后建议直接用初等变换的方法来求A，相似又要算逆又要算乘法挺麻烦的，还有一种比较厉害的方法就是用普分解定理，$A = \lambda_1\gamma_1\gamma_1^T + \lambda_2\gamma_2\gamma_2^T + \lambda_3\gamma_3\gamma_3^T$，其中$\gamma$是单位化后的正交向量，在这道题里头两个特征值都是零，所以用这个定理就很简单了。