2013数二超越第三套总结

昨天上午做了13年的第三套，也是13年的最后一套，本来打算晚上总结的，结果天气好，打了一下午+一晚上的篮球羽毛球，总结自然也就搁置了，今天来总结一下。

客观评价这张卷子，我感觉难度和第二套差不多，总体难度是非常大的，考了很多很细的概念，证明题也比较刁钻，不过这套试卷的计算量比较友好。

现在开始复盘。

第一题这种函数我称之为动态函数，要先根据x的取值不同来确定函数，然后判断间断点，然而这道题我做错了，我直接把0和2往里头带，感觉是两个无穷是选了B，结果挖了坑...还是要先把函数解析式求出来，然后再具体分析。

这道概念题出的很棒，可以趁这道题复习一下$f(x)$和$|f(x)|$它们之间连续的关系、可导的关系以及可积的关系。

如果$f(x)$连续，那么$|f(x)|$是连续的，但是反之不能推，比如$x$小于零的时候$f(x)=-1$，$x$大于零的时候$f(x)=1$这个例子就可以反证了。

如果$f(x)$在$x=a$处可导，那么对于$|f(x)|$：
- 如果$f(a) \ne 0$，那么$|f(x)|$在a处是可导的，画图就很清楚了。
- 如果$f(a)=0$，那么就要继续分情况，如果是和$x$轴相切，那么$|f(x)|$在$a$处也是可导的。但如果穿过了$x$轴，那么就不可导了。（图像图像）
- $|f(x)|$的导数推$f(x)$就是这道题的D
如果$f(x)$可积，那么$|f(x)|$可积，反之不能推，例子就是狄利克雷函数

直接把1带进去，然后看$f'''(x)$，看不出啥，继续求导，直到五阶导不等于零，这个时候就能推拐点了，武忠祥强化课讲过这玩意。

基本题，pass

基本题，pass

拿$I_1$当中介，被积函数大的就大，积分区域大的就大

这道题我做错了，是相当好的一道题，$ABAC=E$可以推$C^{-1}=ABA$，然后带入$(CC^{-1})^{T}$就出来了，感觉还是不容易想的。

这道题是好题，李艳芳讲了这个东西，https://www.bilibili.com/video/BV11r4y1Q7iC/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click 第三集的十分钟左右

先把二次型对应的矩阵改造成对称矩阵，就是加上它的转置，然后除以二就好了，可以证明这个矩阵的秩是等于二的（夹逼，小于2用$R(AB)<=R(A)+R(B)$，大于2用证明存在二阶子式不等零），然后就可以推出一定有零这个特征值，然后CD就证明了，B我还不会证明，等一个大佬在评论区补充hh

这题就很明显的定积分定义了，提可爱因子到前面，然后对后面这玩意变形，配方啥的，要多尝试。

换元分部积分啥的，就出来了

这题就是把$y$当成自变量，然后$x$当成$y$的函数就好了

这题答案的方法我看的云里雾里的，不如直接用区间再现，先令$x=n\pi-t$，具体过程看图：

偏积分就好了，不难。

根据后面的那个矩阵方程可以得到两个特征值，然后再根据迹，可以求出第三个特征值，行列式就出来了。

其实像这种隐函数啥的杂糅的参数方程的二阶导，我觉得快一点的方法就是先单独计算$x'(0), y'(0), x''(0), y''(0)$，然后再用公式：$\frac{x''(0)y'(0)-y''(0)x'(0)}{x'^{3}(0)}$就比较快了，这个公式记忆也挺简单的，就是要记住分母是三次方就ok

这道题也不难，先换元，搞成$f'(x)$的形式，然后再积分，然后再把$lnx$带进去就好了

这道题又是我思维定势的体现，第一问就不说了，题目给了个函数方程，因为我之前做过不少函数方程的题，使用的方法都是用导数定义，然后得到一个微分方程，再求解，正好看到第三问就是求$f(x)$，所以一直在往这个方向试，试了半天没试出来就放弃了。。。结果发现就是对式子直接求导，然后换元就出来了。。第三问也是，直接把$y=1$就能把微分方程搞出来了，厉害👍

这道题好像也和22那道挺像的，结果我又给算错了！主要就是这个积分算错了：$\int_{0}^{\frac{\pi}{4} }\frac{cos\theta -sin\theta }{(sin\theta +cos\theta )^2}dx$，没意识到分子直接凑进去就是分母，还是不够敏感。。也可能是好久没铺天盖地的刷不定积分了，手生了。