Markov不等式最大的亮点,就是将概率与期望进行了直接的联系

定义

$$
\text{设随}机\text{变量}Y\geqslant 0,\text{则对}\forall \varepsilon >0
$$

$$
P\left( Y\geqslant \varepsilon \right) \leqslant \frac{EY}{\varepsilon}
$$

证明

$$
EY=\int_{-\infty}^{+\infty}{yf\left( y \right) dy}
$$

我们通过变积分号来进行放缩

$$
\int_{-\infty}^{+\infty}{yf\left( y \right) dy}\geqslant \int_{\varepsilon}^{+\infty}{yf\left( y \right) dy}
$$

现在\(\varepsilon\)为积分下限,所以有\(y\geqslant \varepsilon\),所以我们可以对\(y\)来进行放缩

$$
\int_{\varepsilon}^{+\infty}{yf\left( y \right) dy}\geqslant \varepsilon \int_{\varepsilon}^{+\infty}{f\left( y \right) dy}=\varepsilon P\left( Y\ge \varepsilon \right)
$$

所以有

$$
EY\geqslant \varepsilon P\left( Y\geqslant \varepsilon \right)
$$

移项

$$
P\left( Y\geqslant \varepsilon \right) \leqslant \frac{EY}{\varepsilon}
$$

特例

当\(Y=\left( X-EX \right) ^2, \varepsilon =\varepsilon _{1}^{2}\)

$$
P\left( \left| X-EX \right|^2\geqslant \varepsilon {1}^{2} \right) \,\,\leqslant \,\,\frac{Var\left( X \right)}{\varepsilon {1}^{2}}
$$

$$
P\left( \left| X-EX \right|\geqslant \varepsilon 1 \right) \,\,\leqslant \,\,\frac{Var\left( X \right)}{\varepsilon {1}^{2}}
$$

这里用方差的原因是:右边为概率的上界,概率肯定是大于等于0的,如果用均值就不能保证概率大于等于0了,所以使用方差来把概率的范围限定住

例题

假设吸烟率为\(P\),需要调查多少人,保证吸烟频率与吸烟率的差不超过0.005的概率不低于95%

题目看起来很繁琐,我们将其代数表示:\(f\)为频率

$$
P\left( \left| f-p \right|\leqslant 0.005 \right) \geqslant 95\%
$$

$$
f=\frac{n_A}{n}
$$

$$
P\left( \left| \frac{n_A}{n}-p \right|\leqslant 0.005 \right) \geqslant 95\%
$$

$$
P\left( \left| n_A-np \right|\leqslant 0.005n \right) \geqslant 0.95
$$

$$
n_A\sim B\left( n,p \right)
$$

其实此时如果\(n\)足够大,而\(p\)足够小,是可以使用泊松逼近定理的,但这里\(n\)和\(p\)均未知,所以任然用二项分布来做

我们将其转换成对立事件后使用markov不等式

$$
P\left( \left| n_A-np \right|>0,005n \right) \leqslant \frac{Var\left( n_A \right)}{0.005^2n^2}\leqslant 0.05
$$

等价于

$$
\frac{np\left( 1-p \right)}{0.005^2n^2}\leqslant 0.05
$$

上下约去\(n\)

$$
\frac{p\left( 1-p \right)}{0.005^2n}\leqslant 0.05
$$

在这里,我们放缩一下

$$
p\left( 1-p \right) \leqslant \frac{1}{4}
$$

$$
\therefore \frac{p\left( 1-p \right)}{0.005^2n}\leqslant \frac{1}{4\times 0.005^2n}\leqslant 0.05
$$

此时,\(n\)可求,结果大概在4万左右


立志做一名攻城狮